Reste d'une division par 19 - Corrigé

Énoncé

Déterminer le reste de la division euclidienne par \(19\) de \(1\,000^{1\,000}\) .

Solution

On écrit la division euclidienne de \(1\,000\) par \(19\) :  \(\begin{align*}1\,000=19 \times 52+12\end{align*}\)  donc \(1\,000 \equiv 12 \ [19]\) , et on a alors \(1\,000^{1\,000} \equiv 12^{1\,000} \ [19]\) .

On remarque que : \(12^2 \equiv 144 \equiv 11 \ [19]\) ; \(12^3 \equiv 1\,728 \equiv 18 \equiv -1 \ [19]\) .

On écrit la division euclidienne de \(1\,000\) par \(3\) :  \(\begin{align*}1000=3 \times 333+1\end{align*}\) donc 
\(\begin{align*}1\,000^{1\,000}& \equiv 12^{1\,000}\\ & \equiv 12^{3 \times 333+1}\\ & \equiv (12^3)^{333} \times 12^1\\ & \equiv (-1)^{333} \times 12\\ & \equiv -1 \times 12\\ & \equiv -12\equiv 7 \ [19]\end{align*}\)  

et on en déduit que le reste dans la division euclidienne de \(1\,000^{1\,000}\) par \(12\) est \(7\) .